چگونه ب م م و ک م م بگیریم؟ آموزش تصویری به صورت ساده

مقسوم علیه یا عامل چیست؟

ب م م چیست؟ ک م م چیست؟

مقسومٌ‌ علَیه یا عامل، در ریاضیات به معنای عددی است که عددی دیگر بر آن تقسیم شده است.ک م م به معنای کوچکترین مقسومٌ‌ علَیه مشترک وب م م به معنای بزرگترین مقسومٌ‌ علَیه مشترک است

به عبارت دیگر، عامل‌ها اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را در یکدیگر ضرب کرد و عدد دیگری را به‌ دست آورد.

برای مثال، عامل‌های عدد ۶ به صورت زیر هستند:

هر عدد، مقسوم علیه‌های مختلفی دارد. برای مثال، مقسوم علیه‌های عدد ۱۲، اعداد ۱، ۲، ۳، ۴، ۶ و ۱۲ هستند. زیرا:

۶ × ۲ = ۱۲ یا ۳ × ۴ = ۱۲ یا ۱۲ × ۱ = ۱۲

• بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست؟
• کاربرد مقسوم علیه مشترک چیست؟
• محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
• مضرب چیست؟
• مضرب مشترک چیست؟
• کوچکترین مضرب مشترک چیست؟
• روش اول یافتن ک م م
• روش دوم یافتن ک م م

بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست؟

چگونه ب م م بگیریم

مقسوم علیه‌های مشترک چند عدد، مقسوم علیه‌ها یا عواملی هستند که در هر دو عدد مشترک باشند. بزرگترین مقسوم علیه مشترک نیز، همان‌ گونه که از نامش پیداست، بزرگترین عدد بین مقسوم‌ علیه‌های مشترک دو عدد است.

مثال ۱

برای مثال، مقسوم علیه‌های دو عدد ۱۲ و ۳۰ را می‌توان به صورت زیر فهرست کرد:

• مقسوم علیه‌های ۱۲: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶ و ۱۲٫
• مقسوم علیه‌های ۳۰: ۱، ۲، ۳، ۵، ۶، ۱۰، ۱۵ و ۳۰٫

همان‌طور که می‌بینیم، اعداد ۱، ۲، ۳ و ۶ در فهرست مقسوم علیه‌های هر دو عدد وجود دارند. بنابراین، مقسوم علیه‌های مشترک ۱۲ و ۳۰، اعداد ۱، ۲، ۳ و ۶ هستند. بزرگترین این اعداد، عدد ۶ است.

مثال ۲

یک مثال دیگر را برای سه عدد بررسی می‌کنیم. سه عدد ۱۵، ۳۰ و ۱۰۵ را در نظر بگیرید.می‌خواهیم مقسوم علیه‌های مشترک آن‌ها را به دست آوریم.

• مقسوم علیه‌های عدد ۱۵: ۱، ۳، ۵ و ۱۵٫
• مقسوم علیه‌های عدد ۳۰: ۱، ۲، ۳، ۵، ۶، ۱۰، ۱۵ و ۳۰٫
• مقسوم علیه‌های عدد ۱۰۵: ۱، ۳، ۵، ۷، ۱۵، ۲۱، ۳۵ و ۱۰۵٫

همان‌طور که می‌بینیم، مقسوم علیه‌های مشترک، اعداد ۱، ۳، ۵ و ۱۵ هستند و بزرگترین آن ها ۱۵ است.

کاربرد مقسوم علیه مشترک چیست؟

اگر به مثال قبل دقت کنیم، می‌بینیم که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد ۱۵، ۳۰ و ۱۰۵، عدد ۱۵ است. اما کاربرد این عدد چیست؟ یکی از مهمترین کاربردهای بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک، ساده کردن کسر است.

برای مثال، کسر ۱۲۳۰۱۲۳۰ را در نظر بگیرید. چگونه می‌توانیم این کسر را ساده کنیم؟ قبلاً مقسوم‌ علیه‌های دو عدد ۱۲ و ۳۰ را به‌دست آوردیم که اعداد ۱، ۲، ۳ و ۶ بودند و گفتیم که بزرگترین مقسوم‌ علیه مشترک دو عدد، ۶ است.

بنابراین، بزرگترین عددی که می‌توانیم هر دو عدد ۱۲ و ۳۰ را بر آن تقسیم کنیم، ۶ خواهد بود:

همان‌طور که می‌بینیم، کسر 12301230 به کسر 2525 ساده می‌شود.

محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک

برای محاسبه ب م م دو راه وجود دارد.

روش اول

• همه مقسوم علیه‌های دو عدد مورد نظر را به‌ دست آوریم.
• پس از آن، مقسوم علیه‌های مشترک را انتخاب کنیم.
• در نهایت بزرگترین مقسوم علیه مشترک را تعیین کنیم.

با یک مثال شروع می‌کنیم. می‌خواهیم بزرگترین مقسوم‌ علیه مشترک دو عدد ۱۲ و ۱۶ را بنویسیم.

ابتدا عوامل یا همان مقسوم‌علیه‌های هر عدد را به‌ دست می‌آوریم. پس از آن، دور عوامل مشترک یک دایره می‌کشیم. در نهایت، از بین عوامل مشخص‌ شده، بزرگترین را انتخاب می‌کنیم.

جداول زیر، مثال‌هایی از این روش را برای اعداد ۹ و ۱۲ و نیز اعداد ۶ و ۱۶ نشان می‌دهد.

روش دوم

می‌توانیم اعداد را به عوامل اول تجزیه کرده و مشترکات آن‌ها را با هم ترکیب کنیم. جدول زیر، استفاده از این روش را نشان می‌دهد.

مضرب چیست؟

اگر عددی را در یک عدد غیرصفر دیگر مانند ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ و… ضرب کنیم، مضرب آن به دست می‌آید.

برای مثال، مضارب اعداد ۴ و ۵ به‌صورت زیر هستند:

مضرب مشترک چیست؟

مضرب مشترک دو یا چند عدد، مضاربی هستند که بین آن اعداد مشترک باشند. در قسمت قبل، مضارب اعداد ۴ و ۵ را نوشتیم. مضارب مشترک این دو عدد، در زیر مشخص شده‌اند:

همان‌طور که می‌بینیم، اعداد ۲۰، ۴۰، ۶۰ و… مضارب مشترک این دو عدد هستند.

کوچکترین مضرب مشترک چیست؟

چگونه ک م م بگیریم؟

ساده‌ترین راه برای محاسبه کوچکترین مضرب مشترک، نوشتن مضارب مشترک و انتخاب کوچکترین آن‌ها است. ک م م – همان‌گونه که از نامش پیداست – کوچکترین مضربی است که بین اعداد مورد نظر مشترک باشد. مثلاً برای اعداد ۴ و ۵ که در بالا به آن اشاره شد، اگر بخواهیم کوچکترین مضرب مشترک را از بین مضارب مشترک ۲۰، ۴۰، ۶۰ و… تعیین کنیم، عدد ۲۰ را در نظر می‌گیریم که از همه مضارب مشترک کوچکتر است.

روش اول یافتن ک م م

در روش اول برای یافتن کوچکترین مضرب مشترک چند عدد مختلف، ابتدا مضارب آن‌ها را از کوچک به بزرگ می‌نویسیم و اولین مضربی را که برای همه اعداد مشترک است، به‌ عنوان کوچکترین مضرب مشترک مشخص می‌کنیم.

مثال ۱

ابتدا با مثال ساده یافتن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۳ و ۵ شروع می‌کنیم. برای یافتن ک م م، مضارب هریک از این اعداد را می‌نویسیم:

• مضارب عدد ۳، اعداد ۳، ۶، ۹، ۱۲، ۱۵، ۱۸ و… هستند.
• مضارب عدد ۵، اعداد ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵ و… هستند.

از بین مضارب بالا، مضارب مشترک و کوچکترین آن‌ها را انتخاب می‌کنیم.

بنابراین، عدد ۱۵ کوچکترین مضرب مشترک اعداد ۳ و ۵ است.

مثال ۲

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۴ و ۱۰ را به‌دست آورید.

مضارب هر دو عدد را به صورت زیر می‌نویسیم:

• مضرب‌های ۴: ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰ و…
• مضرب‌های ۱۰: ۱۰، ۲۰، ۳۰، ۴۰ و…

همان‌طور که می‌بینیم، ۲۰ اولین مضربی از دو عدد است که مشترک است.

بنابراین، کوچکترین مضرب مشترک اعداد ۴ و ۱۰، عدد ۲۰ است.

مثال ۳

می‌خواهیم کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۶ و ۱۵ را به دست آوریم. ابتدا مضارب هر دو عدد را به صورت زیر می‌نویسیم:

• مضارب ۶: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ۳۰ و…
• مضارب ۱۵: ۱۵، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و…

همان‌طور که می‌بینیم، اولین یا به عبارت بهتر، کوچکترین عددی که مضارب دو عدد در آن مشترک و برابر هستند، ۳۰ است. بنابراین، ک م م دو عدد ۶ و ۱۵، عدد ۳۰ است.

مثال ۴

در این مثال، به جای تعیین ک م م  دو عدد، می‌خواهیم ک م م سه عدد ۴، ۶ و ۸ را محاسبه کنیم. برای انجام این کار، دقیقاً مشابه حالتی عمل می‌کنیم که دو عدد داریم. مانند مثال‌های قبل، ابتدا مضارب سه عدد را می‌نویسیم:

• مضارب عدد ۴: ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰، ۲۴، ۲۸، ۳۲، ۳۶ و…
• مضارب عدد ۶: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ۳۰، ۳۶ و…
• مضارب عدد ۸: ۸، ۱۶، ۲۴، ۳۲، ۴۰ و…

همان‌طور که می‌بینیم، عدد ۲۴، کوچکترین مضرب مشترک بین سه عدد است.

روش دوم یافتن ک م م

یک راه دیگر برای یافتن ک م م بین چند عدد، استفاده از عوامل اول آن‌ها است. در آموزش‌های قبلی، درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث کردیم. برای درک بهتر روش دوم، آن را با یک مثال بیان می‌کنیم.

فرض کنید می‌خواهیم ک م م دو عدد ۱۲ و ۱۸ را به دست آوریم. در گام اول، دو عدد را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:

۳ × ۲ × ۲ = ۱۲

و

۳ × ۳ × ۲ = ۱۸

عوامل اول را به گونه‌ای می‌چینیم تا آن‌هایی که برابر هستند به صورت عمودی با هم منطبق شوند:

        ۳ × ۲ × ۲ = ۱۲

  ۳ × ۳      × ۲ = ۱۸

اکنون عوامل اول هر ستون را می‌نویسیم و در یکدیگر ضرب می‌کنیم. توجه کنید که اگر عاملی در یک ستون چند بار تکرار شده باشد، آن را یک بار می‌نویسیم. بنابراین، داریم:

برای بیش از دو عدد نیز به همین صورت عمل کرده و به سادگی، کوچکترین مضرب مشترک را محاسبه می‌کنیم.

مثال ۵

می‌خواهیم با استفاده از تجزیه به عوامل اول، ک م م دو عدد ۱۵ و ۱۸ را محاسبه کنیم.

با توجه به روشی که گفته شد، عوامل اول دو عدد را به صورت زیر نوشته و ک م م را به دست می‌آوریم:

بنابرین، کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۱۵ و ۱۸، عدد ۹۰ است.

منبع : سایت فرادرس